Algebra liniowa - Wykład I - Liczby zespolone


Definicja pary uporządkowanej:
Para uporządkowana to zbiór zbudowany z dwóch obiektów, a i b w taki sposób, by była określona kolejność tych elementów.
Oznaczenie pary uporządkowanej:

(a,b)

a - poprzednik (pierwszy w kolejności), b - następnik (kolejne)

Definicja zbioru liczb zespolonych:
Zbiorem liczb zespolonych nazywamy zbiór uporządkowanych par liczb rzeczywistych (a,b) w których określone są trzy relacje:
1) relacja tożsamości (a,b)=(c,d) ⇔ (a=c i b=d)
2) działanie dodawania (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)
3) działanie mnożenia (a,b)*(c,d ) = (ac-bd,ad+bc)
liczbą zespoloną nazywamy elementem tego zbióru.
Określenie zbioru liczb zespolonych:

C

UWAGA
Liczbę zespoloną w postaci (a,0) można utożsamiać z liczbą rzeczywistą a:

(a,0) = a

Postać algebraiczna liczby zespolonej
Oznaczenia:

(0,1) = i

i - jednostka urojona

i² = -1

i² = i*i = (0,1)*(0,1) = (0*0-1,0+0) = (-1,0) = -1

dla dowolnej liczby zespolonej z mamy:

z = (a,b) = (a,0)+(0,b) = (a,0)+(b,0)*(0,1) = a+bi

Liczbę a+bi, gdzie a,b∈R nazywamy podstawą algebraiczną (kartezjańską) liczby zespolonej:
a - cześć rzeczywista ℜ (Rez); b - cześć urojona ℑ (Imz)

Przykład:
z=5+2i
ℜ (Rez) = 5
ℑ (Imz) = 2

Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej

Dane są liczby z1 = a+bi, z2 = c+di

1) z1+z2 = a+bi,c+di = a+c, bi+di = a+c+(b+d)i

2) z1*z2 = (a+bi)*(c+di) = ac+adi+cbi+bdi² = (a,b)*(c,d) = (ac-bd,ad+bc) = ac-bd+(ad+bc)i

liczby sprzężoną do liczby z = x+yi nazywamy liczbę ¬z = x-yi (¬ - negacja)

3) z1/z2 = z1*¬z2/z2*¬z2 = (a+bi)*(c-di)/(c+di)*(c-di) = ac-adi+bci-bdi²/c²+d² = ac+bd-(ad+bc)i/c²-d²

Przykład:
1) (3-2i)*(2+i) = 6+3i-4i-2i² = 8-i
2) 4+5i/7-i = (4+5i)*(7+i)/(7-i)*(7+i) = 28+4i+35i-5/49+1 = 23+39i/50

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

Niech z = a+bi = (a,b) a,b∈R
liczbę zespoloną interpretujemy jako punkt P=(a,b) w płaszczyźnie Oxy albo jako jako wektor o początku w punkcie O(0,0) i końcu w punkcie P (a,b)

interpretacja geometryczna

Moduł i orgument liczby zespolonej

Długośc wektora OP nazywamy modułem liczby zespolonej z = a+bi i oznaczamy |z| = (a²+b²)1/2

Kąt ƒ między dodatnią cześcia osi OX (rzeczywistą) a wektorem OP nazywamy argumentem liczby zespolonej z = a+bi ≠0

Oznaczenia:

Argz

UWAGA
Argumentem liczby z = 0, jest każda liczba rzeczywista.

Argument liczby zespolonej nie jest określony jednoznacznie.
Jeśli ƒ jest argumentem liczby zespolonej to równierz ƒ+2π jest argument tej liczby.

Argumentem głównym liczby zespolonej z = ≠0 nazywamy argument tej liczby spełniający warunek 0≤ƒ2π i oznaczamy go argz.

UWAGA
Czasem wygodniej jest przyjąć, że argument główny jest liczbą z przedziału (-π,π)

Przykład:
Wyznaczyć |z| i argz
a) z = -(3)1/2 - i
|z| = {[-(3)1/2]²+(-i)²}1/2



argz = ƒ = π+α
tgα = 1/(3)1/2
α = π/6
argz = π+π/6 = 7/6*π

Postać wykładnicza i trygonometryczna liczby zespolonej

Niech z = a+bi ; a,b∈R


a = |z|cosƒ
b = |z|sinƒ

z = |z|(cosƒ+isinƒ) - postać trygonometryczna

Definicja
Dla ƒ∈R
e = cosƒ+isinƒ

z = |z|e - postać wykladnicza

Mnożenie postaci trygonometrycznej

Niech:
z1 = |z1|(cosƒ1+isinƒ1)
z2 = |z2|(cosƒ2+isinƒ2)
z1*z2 = |z1|*|z2|[cosƒ1*cosƒ2-icosƒ1*sinƒ2+isinƒ1*cosƒ2+i²sinƒ1*sinƒ2) = |z1|*|z2|((cosƒ1*cosƒ2-sinƒ1*sinƒ2+i(cosƒ1*sinƒ2+sinƒ1*cosƒ2)] = |z1|*|z2|[cos(ƒ12)+isin(ƒ12)]

Potęgowanie postaci trygonometrycznej

Niech:
z = |z|(cosƒ+isinƒ)
z² = z*z = |z|²(cos2ƒ+isin2ƒ)
z3 = z*z*z = |z|3(cos3ƒ+isin3ƒ)

zn = |z|n(cosnƒ+isinnƒ) - wzór Moivre'a

Dzielenie postaci trygonometrycznej

Pierwiastki stopnia n∈N z liczby zespolonej z nazywamy taką liczbe zespolonąW, że:

Wn = z

zbiór pierwiastków stopnia n zliczby zespolonej z oznaczamy przez z1/n

Porównanie pierwiastków w dziedzinie rzeczywistej i zespolonej:

liczby rzeczywiste

liczby zespolone

41/2 = 2

41/2 = {2,-2}

11/4 = 1

11/4 = {-1,-i,1,i}

11/2 = nie istnieje

11/2 = {i,-i}

(x2)1/2 = |x|

(x2)1/2 = {x,-x}


z = |z|(cosƒ+isinƒ)
z1/n = {Wo,W1,...,Wn-1}

Wk = |z|1/n(cos*ƒ+2kπ/n+isin*ƒ+2kπ/n) ; k=0,...,n-1

Mnożenie postaci trygonometrycznej

Niech:
z1 = |z1|e1
z2 = |z2|e2

z1*z2 = z1e1*|z2|e2 = |z1|*|z2|ei(ƒ12)

Dzielenie postaci trygonometrycznej

Niech:
z1 = |z1|e1
z2 = |z2|e2

z1/z2 = z1e1/|z2|e2 = |z1|/|z2|ei(ƒ12)


www.piotrsog.prv.pl