Analiza matematyczna - Wykład I - Funkcje


Oznaczenia zbiorów liczbowych:
N - zbiór liczb naturalnych
Z - zbiór licz całkowitych
Q - zbiór licz wymiernych
R - zbiór liczb rzeczywistych
C - zbiór licz zespolonych

Oznaczenia znaków logicznych:
∧ - i
∨ - lub
⇒ - z... wynika...
⇔ - wtedy i tylko wtedy gdy
∀ - kwantyfikator duży (ogolny, uniwersalny) - dla każdego
∃ - kwantyfikator mały (szczegółowy) - istnieje takie x, że...

Oznaczenia znaków z teorii zbiorów:
∈ - należy do...
∉ - nie należy do...
⊂ - zawiera się w...
∪ - suma zbiorów
∩ - część wspólna zbiorów
∅ - zbiór pusty

Definicja fukcji:
Funkcja określona na zbiorze x⊂R o wartościach w zbiorze y⊂R, nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x∈X dokładnie jednego elementu y∈Y.
Zapis ƒ: X→Y czytamy: ƒ jest funkcją odwzorowującą zbiór X w zbiór Y.

Wartość funkcji ƒ w punkcie x oynacyamz ƒ(x)
Pełny zapis funkcji ma postać:
ƒ:X→Y
X→ƒ(x)

Zapisujemy równierz:
X∋x→ƒ(x)∈Y
tradycyjnie
y = ƒ(x) , x∈X

Przykład:
1) ƒ:'R→R
x→x²+3
2)y = x²+3 ; x∈R

Definicja:
Niech dana bedzię funkcja ƒ:X→Y wtedy zbiór X nazywamy dziedziną funkcji i oznaczamy Dƒ (lub D), zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji.
Zbiór taki {ƒ(x)∈Y , x∈Dƒ nazywamy zbiorem wartości funkcji ƒ i oznaczamy Wƒ lub ƒ(x).

Uwaga:
1) Wƒ⊂Y
2) Jeśli ƒ: x→y spełnia warunek Wƒ = y to mówimy, że ƒ odwzorowywuje zbiór X na zbiór Y, co symbolicznie zapisujemy: ƒ:X-na->Y

Definicja wykresu funkcji:
Wykresem funkcji ƒ:X→Y nazywamy zbiór par (x,ƒk), gdy x∈X

Przykłady funkcji:

Funkcja stała:
y = a , a∈R (a - parametr)

funkcja stała

Funkcja liniowa:
y = ax+b , (a i b - parametry)

funkcja liniowa

Funkcje liowe dla y = 1/2*x+3 i y = 1/3*x

funkcja liniowa

Funkcja moduł:
y = |x|
|x| = x dla x≥0 (dla nieujemnych) i -x dla x<0 (dla ujemnych)
(x²)1/2 = |x|

funkcja moduł

Funkcja potęgowa:
y = xa ; a∈R (a - jest parametrem)
dziedzina zależy od parametru a
przykłady:

funkcja potęgowa

funkcja potęgowa

funkcja potęgowa

Funkcja wielomianowa (wielomian):
W(z) = anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0
W1(x) = 4 - funkcja stała
W2(x) = 5x+7 - funkcja liniowa
W3(x) = 3x²+7x+2 - funkcja kwadratowa

Funkcja wymierna:
y = P(x)/Q(x) , P(x),Q(x) - to wielomiany
Dziedzina: D = {x∈R:Q(x)≠0}
Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja homograficzna y = ax+b/cx+d , c≠0, a²+b²>0 - a,b różne od zera
D = {a∈R; cx+d≠0}
dla y = (2x-1)/(x+2)

funkcja wymierna

dla y = 1/x
D = {x∈R , x≠0} = (-∞;0)∪(0;+∞)}

funkcja wymierna

Funkcja wykładnicza:
y = ax , a>0
dla 0<a<1

funkcja wykładnicza

dla a>1

funkcja wykładnicza

Funkcja logarytmiczna:
Definicja logarytmu:
Jeżeli a>0 i a≠1 to:
logab = c ⇔ b = ac , b>0

Właśności logarytmów:
loga1 = 0
logaa = 1
logab*c = logab+logac
logab/c = logab-logac
loga(b)p = p*logab
logab = logdb/logda
logaay = y
alogax = x , x>0

Przykłady:
3 = log55 = 3log55 = log553
2,1 = log222,1
3 = log223
0,5 = log221/2
2,5 = log222,5

3x=4 , a=3, b=4, c=x
x = log34
3x=4
log33x = log34
xlog33 = log34
x = log34

Postać graficzna
dla a>0

funkcja logarytmiczna dla a>1

0<a<1

funkcja logarytmiczna dla 0<a<1

Funkcje trygonometryczne:
y = sinx

funkcja sin

y = cosx

funkcja cos

y = tgx D = {x∈R, x≠π/2+kπ, k = Z}

funkcja tg

y = ctgx D = {x∈R, x≠kπ, k = Z}

funkcja ctg

Funkcje hiperboliczne:
y = sinhx (sinh - czytamy sinus hiperboliczny)

sinhx = ex-e-x/2

funkcja sinh

y = coshx (cosh - czytamy cosinus hiperboliczny)

coshx = ex+e-x/2

funkcja cosh

Zapamiętać

cosh²x-sinh²x = 1

y = tghx
tghx = sinhx/coshx

funkcja tgh

y = ctghx
tghx = 1/tghx

funkcja ctgh

Funkcje równowartościowe:
Definicja:
(Funkcja ƒ jest różnowartościowa na zbiór A⊂Dƒ)⇔(∀xx1,x2∈A x1≠x2⇒ƒ(x1)≠ƒ(x2)

Twierdzenie:
(Funkcja ƒ jest różnowartościowa na zbiór A⊂Dƒ)⇔(∀xx1,x2∈A ƒ(x1) = ƒ(x2)⇒x1 = x2

Przyklady funkcji różnowartościowej w dziedzienie funkcji:

y = x+2, y = x3, y = ex, y = sinhx

Przyklady funkcji które nie są różnowartościowe w dziedzienie funkcji:

y = 2, y = sinx, y = x2, y = |x|, y = cosx, y = tgx, y = ctgx

Definicja:
Niech ƒ:X-na->Y będzie równowartościowa funkcja odwrotna do ƒ nazywamy funkcje:
ƒ-1:Y-na->X określona przez warunek, ƒ-1(y) = x⇔y = ƒ(x), gdzie y∈Y, x∈X

Uwaga
Oczywiście funkcja trygonometryczne nie są różnowartościowe.

Funkcje cyklometryczne (kołowe):
y = arc sinx (ARC SIN - czytamy arkus sinus)
jest to funkcja odwrotna do funkcji:
y = sinx, x∈<-π/2;π/2>

funkcja arc sin

y = arc cosx - jest to funkcja odwrotna do y = cosx, x∈<0,x>

funkcja arc cos

y = arc tgx - jest to funkcja odwrotna do y = tgx, x∈<-π/2,π/2>

funkcja arc tg

y = arc ctgx - jest to funkcja odwrotna do y = ctgx, x∈<0,π>

funkcja arc ctg


www.piotrsog.prv.pl